Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika – sebuah persembahan dari Partner StudiMatematika untuk anda para pembelajar. Selamat menyimak.

Barisan Aritmatika

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali dijumpai kelompok-kelompok yang berpola. Sebagai contoh, penataan kursi di sebuah bioskop disusun dengan setiap baris mempunyai jumlah kursi yang berbeda-beda, semakin ke depan jumlah kursi dalam setiap baris semakin bertambah.

Jika terurut barisan pertama dari paling belakang sebanyak 5 kursi, barisan kedua 8 kursi, barisan ketiga 11 kursi, barisan keempat 14 kursi dan seterusnya, dapatkah kita menentukan banyak kursi di barisan-barisan berikutnya? Berapakah banyak kursi pada berisan ke-20? Tentu kita bisa menentukannya dengan mudah, sampai dengan menentukan banyak barisan ke-n dari susunan kursi tersebut.
Penyelesaian:
1.      Kita dapat menemukan pola dari barisan kursi tersebut dengan bantuan tabel 1 berikut:
Tabel 1
Baris ke-
Banyak Kursi
Pola
B1
5
2 + 3×1 = 5
B2
8
2 + 3×2 = 8
B3
11
2 + 3×3 = 11
B4
14
2 + 3×4 = 14
....
....
....
Bn

2 + 3n

Dengan pola barisan bilangan seperti di atas kita dapat menentukan banyak kursi pada barisan berikutnya yaitu B5 = 2 + 3.5 = 17, B6 = 2 + 3.6 = 20, dan seterusnya. Kemudian banyak kursi pada barisan ke-20 juga dapat ditentukan dengan B20 = 2 + 3.20 = 62 kursi.
2.      Apakah ada pola yang lain pada barisan tersebut? Silahkan amati kembali tabel 2 berikut!
Tabel 2
Baris ke-
Banyak Kursi
Pola
B1
5
5 + 3.0 = 5 + 3(1 – 1) = 5
B2
8
5 + 3.1 = 5 + 3(2 – 1)= 8
B3
11
5 + 3.2 = 5 + 3(3 – 1)  = 11
B4
14
5 + 3.3 = 5 + 3(4 – 1)= 14
....
....
....
Bn

5 + 3(n -1)

Dengan pola barisan bilangan seperti dalam tabel 2 kita dapat menentukan banyak kursi pada barisan berikutnya yaitu B5 = 5 + 3(5-1) = 117, B6 = 5 + 3(6-1) = 20, dan seterusnya. Kemudian banyak kursi pada barisan ke-20 juga dapat ditentukan dengan B20 = 5 + 3(20-1) = 62 kursi.

Selain contoh pada susunan kursi tersebut, masih banyak terdapat fenomena yang berkaitan, misalnya jika kita pergi ke pasar sering kita jumpai para pedagang jeruk yang menyusun buah jeruknya membentuk sebuah piramida untuk menarik konsumennya. Tentunya banyak buah jeruk pada baris paling bawah adalah paling banyak, dan semakin ke atas semakin sedikit.

Jika misalnya jeruk tersebut disusun dalam piramida segitiga, dan kita mengamati dari banyak jeruk pada barisan teratas, kemudian semakin ke bawah, maka susunan buah jeruk tersebut dapat kita representasikan ke dalam gambar berikut.



Susunan jeruk tersebut terlihat kokoh dan rapi, coba tentukan banyak jeruk pada 3 barisan berikutnya. Tentukan juka banyak jeruk pada barisan ke-30 !

Menemukan Pola Barisan Aritmetika

Pada susunan buah jeruk yang diberikan di atas, banyaknya bulatan yang tersusun dapat dituliskan dengan bilangan, yaitu 1, 3, 6, 10, 15. ternyata diperoleh selisih antara bilangan pertama dengan bilangan kedua, bilangan kedua dengan bilangan ketiga, bilangan ketiga dengan bilangan keempat dan seterusnya, seperti yang disajikan pada Gambar berikut.
Ternyata beda antara setiap dua bilangan yang berdekatan membentuk barisan yang baru yaitu 2, 3, 4, 5,... Perhatikan skema pada Gambar berikut.
Selisih setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 2, 3, 4, 5,... adalah tetap yaitu 1. Dengan demikian barisan 2, 3, 4, 5,... disebut “Barisan Aritmetika” dan barisan 1, 3, 6, 10, 15, ... disebut “Barisan Aritmetika Tingkat Dua”.
Masalah !
Seorang pengusaha sepatu Malangan mampu menjual sepatunya pada bulan pertama sebanyak 7 pasang. Sepatu yang dijual oleh pengusaha tersebut mendapat kepercayaan dari para siswa SMA di Malang, sehingga pada bulan kedua sepatu yang terjual sebanyak 10 pasang, bulan ketiga 13 pasang, dan bulan keempat 16 pasang. Dia menduga banyak sepatu yang terjual pada bulan berikutnya akan menjadi 3 lebih banyak dari penjualan bulan sebelumnya. Dengan pola tersebut, berpakah banyak sepatu yang harus disiapkan untuk dijual pada bulan ke-25?
Bulan ke-
Banyak Kursi
Pola
u1
5
5 + 3.0 = 5 + 3(1 – 1) = 5
u2
8
5 + 3.1 = 5 + 3(2 – 1)= 8
u3
11
5 + 3.2 = 5 + 3(3 – 1)  = 11
u4
14
5 + 3.3 = 5 + 3(4 – 1)= 14
....
....
....
un

5 + 3(n -1)

Bulan  ke-1 : u1 = a = 6                                        maka             u1 = 6 + (1 – 1)3
Bulan ke-2  : u2 = 6 + 3 = 6 + 1.3 = 9                  maka             u2 = 6 + (2 – 1)3
Bulan ke-3  : u3 = 6 + 3 + 3 = 6 +2.3 = 12           maka              u3 = 6 + (3 – 1)3
Bulan ke-4  : u4 = 6 + 3 + 3 + 3 =  6 + 3.3 = 15   maka             u4 = 6 + (4 – 1)3
...
Bulan ke-n : un = 6 + (n – 1)3                              maka              un = 6 + (n – 1)3

Berdasarkan pengamatan di atas,
penjualan sepatu pada bulan ke-n : un = 6 + (n – 1).3 (n merupakan bilangan asli).
Sesuai dengan pola di atas, dapat diduga bahwa penjualan sepatu pada bulan ke-25 adalah  u25 = 6 + (25 – 1).3 = 6 + 72 = 78. Sehingga pengusaha tersebut dapat menyiapkan 78 pasang sepatu pada bulan ke-25.

ü  Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama.
ü  Beda, disimbolkan dengan “b” . Beda dari suatu barisan aritmetika u1, u2, u3, u4, u5, …, un-1, un memenuhi pola berikut
b = u2 – u1= u3– u2= u4 – u3 = ... = un – u(n–1)
ü  u adalah bilangan asli sebagai nomor suku, un adalah suku ke-n, dan n merupakan anggota bilangan asli.
ü  Jika suku pertama (u1) dari barisan aritmetika dinyatakan dengan ”a” dan  beda antara dua bilangan berdekatan di notasikan  dengan“b”, maka pola susunan bilangan  5, 8, 11, 14,…, dapat dijabarkan sebagai:
u1 = a
u2 = a + b
u3 = a + b + b = a + 2b
u4 = a + 2b + b = a + 3b
....
Un = a + (n – 1)b
ü  Jika u1, u2, u3, u4, u5, …, un-1, un  merupakan suku-suku barisan aritmetika. Rumus suku ke-n dari barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut.
un = a + (n – 1)b
Contoh:
Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, ..., 99
a. Tentukan rumus suku ke - n
b. Banyaknya suku dari barisan tersebut
Penyelesaian :

Barisan bilangan: 1, 3, 5, 7, ..., 99
a.     a = 1
        b = 2
       Un= a+(n-1)b
           = 1+(n-1)2
           = 1+2n-2
           = 2n-1
        Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un =2n-1
b.     Diketahui suku ke-n = 99, berarti
        Un = 2n-1
         99 = 2n-1
     99+1 = 2n
       100 = 2n
    100:2 = n
         50 = n
                                 Jadi banyaknya suku pada barisan tersebut adalah 50.


Demikianlah pembahasan tentang Barisan Aritmatika dari kami. Semoga anda terbantu dengan penyajian kami. Salam Matematika ....!!

0 Response to "Barisan Aritmatika"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel