Invers Fungsi dan Fungsi Invers

Invers Fungsi dan Fungsi Invers-ada fenomena menarik dibalik relasi yang berupa fungsi atau relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B, yakni invers fungsi yang merupakan kebalikan dari suatu fungsi. Partner Studi Matematika melalui postingan ini akan membahas lebih lanjut. Selamat mempelajari.


Invers Fungsi dan Fungsi Invers


1.    Mengenal Invers Suatu Fungsi
Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan f = {(x, y)  | x A dan y B}, maka invers fungsi f (dilambangkan dengan f -1) adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan yang dinyatakan dengan f -1 = {(x, y)  | x B dan y A}.  Sebagai ilustrasi,
2.    Fungsi Invers
Permasalahan !
Diketahui fungsi f: A → B merupakan fungsi bijektif, fungsi g: C → D merupakan fungsi injektif, dan fungsi h: E → F merupakan fungsi surjektif yang digambarkan seperti gambar berikut ini.
 Gambar ketiga invers dari fungsi tersebut digambarkan sebagai berikut


Berdasarkan ketiga gambar tersebut, disimpulkan bahwa
a.       Gambar (i) merupakan fungsi
b.      Gambar (ii) bukan fungsi
c.       Gambar (iii) bukan fungsi
Masalah di atas memberikan informasi bahwa invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi tetapi dapat hanya merupakan relasi biasa. Invers fungsi g dan h bukan suatu fungsi melainkan hanya relasi biasa. Invers suatu fungsi yang merupakan fungsi disebut fungsi invers. Invers fungsi f merupakan suatu fungsi invers.
Sehingga, diperoleh sifat (1a) bahwa, suatu fungsi f: A → B  dikatakan mempunyai fungsi invers f -1: B → A jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif.
Dalam sifat 1a, fungsi bijektif f: A → B , A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f, maka didefinisikan bahwa
Jika fungsi f: Df → Rf adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f -1: Rf → Ddengan kata lain  f -1 adalah adalah fungsi dari Rf ke Df.


3. Menentukan Fungsi Invers
Misalkan  f -1 adalah adalah invers fungsi f. Untuk setiap  x  Df dan y  Rf berlaku y = f(x) jika dan hanya jika f -1(y) = x.
Contoh 3.a :
Jika diketahui fungsi f: R → R dengan f(x) = 7x + 8. Tentukan fungsi inversnya.
Penyelesaian:

4.    Menentukan sifat invers fungsi komposisi
Diberikan permasalahan berikut;
Diketahui fungsi f dan g adalah fungsi bijektif yang ditentukan dengan f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x – 2. Tentukanlah
a.       (g f )(x) dan (f g )(x)
b.      f -1(x) dan g-1(x)
c.       (g f )-1(x) dan (f  g)-1(x)
d.      (g-1 f- -1 )(x) dan (f- -1 g-1 )(x)
e.       Hubungan antara (g f )-1(x)  dengan (f- -1 g- -1)(x)
f.       Hubungan antara (f g )-1(x) dengan (g -1 f- -1)(x)
Penyelesaian :
a.       (g f )(x) dan (g f )(x)
(g f )(x)  = g (f(x))
= f(x) – 2
=(2x + 5) – 2
= 2x + 3

(f g )(x)  = f(g(x))
= 2(g(x)) + 5
= 2(x – 2) + 5
= 2x – 4 + 5
= 2x + 1


Berdasarkan pengalaman di atas, diperoleh sifat bahwa: jika f dan g fungsi bijektif, maka berlaku (g f )-1(x) = (f -1 g -1)(x).


Contoh Soal:








        Jawab:
     
































2. Fungsi f: R → R dan g: R → R ditentukan oleh rumus f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x. Tentukanlah (g f )-1(5) dan (g)-1(3).

Jawab:





















Sekian pembahasan kami tentang Invers Fungsi dan Fungsi Invers kali ini. Semoga dapat membantu memudahkan belajarmu. Nantikan pembahasan lainnya yang tentunya lebih menarik di blog ini. Salam Matematika !!

0 Response to "Invers Fungsi dan Fungsi Invers"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel