Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya

Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya - Dalam kehidupan sehari-hari kita kadang dihadapkan dengan masalah untuk menentukan banyak cara pemilihan beberapa objek, menentukan banyak susunan kepanitiaan, dan sebagainya. Misalnya, berapa banyak cara memilih beberapa siswa dari sekelompok siswa sebagai pengurus kelas, berapa banyak cara memilih beberapa kelereng dari kantong yang berisi kelereng warna-warni, dan masih banyak lagi kasus yang lain. Beda kasus akan berbeda pula penyelesaiannya. Mari kita pelajari bersama Partner Studi Matematika.

Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya

Untuk membantu dalam mendiagnosis apakah soal tersebut diselesaikan dengan permutasi atau kombinasi, berikut adalah salah satu tipsnya.

            Perbedaan permutasi dan kombinasi dalam menyelesaikan soal-soal:

    a.      Jika urutan unsur dibalik bernilai berbeda atau unsur dalam soal tersebut memiliki status, maka soal diselesaikan dengan permutasi;

   b.      Jika urutan unsur dibalik bernilai sama atau unsur dalam soal tersebut tidak memiliki status, maka soal diselesaikan dengan kombinasi.

    Sebelum kita menerapkan konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam permasalahan nyata, mari kita mengingat kembali tentang permutasi dan kombinasi yang sudah kita pelajari di bagian sebelumnya.

1.      Permutasi

     Permutasi adalah banyaknya cara untuk menyusun n unsur yang berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut. Berikut adalah beberapa jenis permutasi.

a.      Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

Susunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan k ≤ n disebut permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia.

Banyak permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia dapat dinotasikan:

b.      Permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama

Banyak permutasi n unsur yang memuat k₁ unsur yang sama, k₂ unsur yang sama, k₃ unsur yang sama, dan seterusnya hingga k_n unsur yang sama dengan k₁ + k₂ + k₃ + … + k_n = n, dapat ditentukan dengan rumus berikut:

c.       Permutasi siklis

Permutasi siklis merupakan permutasi melingkar. Jika ada n unsur yang berbeda dan disusun dalam bentuk siklis (melingkar), maka banyak susunan yang terjadi adalah (n – 1 ) !. Sehingga banyak permutasi siklis dari n unsur dapat dirumuskan:

2.      Kombinasi

     Kombinasi adalah banyaknya cara untuk menyusun n unsur yang berbeda tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut tanpa memperhatikan urutan. Berikut adalah beberapa jenis kombinasi.

a.       Kombinasi dari unsur-unsur yang berbeda

Penyusunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut dan tanpa memperhatikan urutan yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan k ≤ n, diperoleh:

Susunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut dan tanpa memperhatikan urutan yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan k ≤ n, disebut kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia.

b.      Kombinasi yang memuat beberapa unsur yang sama

Misalkan terdapat n unsur yang terdiri dari q₁, q₂, q₃, …, q_e. Unsur q₁ ada sebanyak n₁, unsur q₂ ada sebanyak n₂, unsur q₃ ada sebanyak n₃, ... dan unsur q_e ada sebanyak n_e, sehingga n₁ + n₂ + n₃ + … + n_e = n. Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k₁ unsur q₁, k₂ unsur q₂, k₃ unsur q₃, ... dan k_e unsur q_e dengan k₁ + k₂ + k₃ + … + k_e = k. Banyak cara pengambilan (kombinasi k₁, k₂, k₃, …, k_e unsur dari n₁, n₂, n₃, …, n_e unsur ) adalah:

Berikut adalah beberapa permasalahan nyata yang berkaitan dengan permutasi dan kombinasi beserta penyelesaiannya.

 1.      Dalam suatu pemilihan pengurus kelas akan dipilih seorang ketua kelas, seorang wakil ketua kelas, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Pada pemilihan tersedia calon sebanyak 6 orang dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk menduduki salah satu jabatan tersebut. Berapa banyak susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk?

Penyelesaian:

Objek memiliki status yaitu sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Sehingga permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep permutasi.

Jadi, banyak susunan pengurus kelas yang dapat terbentuk adalah 360 cara.

   2.      Dari 15 orang anggota Karang Taruna akan dipilih 4 orang sebagai petugas ronda. Tentukan banyak susunan petugas ronda yang dapat dibentuk.

Penyelesaian.

Objek tidak memiliki status atau jika urutan objek dibalik, bernilai sama. Sehingga, permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep kombinasi.

Jadi, banyak susunan petugas ronda yang dapat dibentuk adalah 1.365 cara.

   3.      Pada sebuah tes, seorang peserta hanya diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal yang diberikan. Tentukan banyak susunan soal yang mungkin dikerjakan.

Penyelesaian.

Objek tidak memiliki status atau jika urutan objek dibalik, bernilai sama. Sehingga, permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep kombinasi.

Jadi, ada 45 susunan soal yang mungkin dikerjakan.

  4.      Dari suatu kotak terdapat 12 bola yang terdiri atas 6 bola warna putih, 4 bola warna hijau, dan sisanya berwarna hitam. Jika diambil 3 bola sekaligus dari kotak tersebut, tentukan banyak cara untuk mendapatkan bola berwarna putih paling sedikit dua bola.

Penyelesaian.

Objek tidak memiliki status atau jika urutan objek dibalik, bernilai sama. Sehingga, permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep kombinasi.

Pengambilan paling sedikit 2 bola putih memiliki beberapa kemungkinan, yaitu:

Jadi, banyak cara untuk mendapatkan paling sedikit 2 bola putih adalah 60 + 30 + 20 = 110 cara.

   5.      Suatu pertemuan diikuti oleh 9 peserta yang akan duduk mengelilingi meja bundar. Felix, Meilvi, dan Valen ikut dalam pertemuan itu. Tentukan banyak susunan tempat duduk yang terjadi:

a.      Jika semua peserta bebas memilih tempat duduk.

b.      Felix, Meilvi, dan Valen duduk berdampingan.

c.      Felix, Meilvi, dan Valen tidak boleh ketiganya duduk berdampingan.

Penyelesaian.

Jika urutan objek dibalik, maka nilai akan berbeda. Sehingga, permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep permutasi, lebih tepatnya permutasi siklis.

a.   Jika semua peserta bebas memilih tempat duduk, maka banyak susunan posisi duduk yang mungkin adalah:

Jadi, banyak susunan posisi duduk yang mungkin adalah 40.320 cara.

b.  Jika Felix, Meilvi, dan Valen duduk berdampingan, mereka bertiga dianggap 1 unsur dalam susunan siklis, maka jumlah unsur dalam susunan siklis menjadi 8 unsur. Sehingga, banyak susunan posisi duduknya adalah:

Namun Felix, Meilvi, dan Valen dapat bertukar tempat sebanyak 3! = 6.

Jadi, banyak susunan posisi duduk yang mungkin adalah 5.040 × 6 = 30.240.

c.       Banyak posisi duduk jika Felix, Meilvi, dan Valen tidak boleh bertiganya duduk berdampingan = banyak posisi duduk semua peserta – banyak posisi duduk mereka bertiga duduk berdampingan.

Jadi, banyak susunan posisi duduk yang mungkin adalah 40.320 - 30.240 = 10.080.



Sekian pembahasan kali ini dengan topik Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya.  Asahlah kemampuanmu secara terus menerus untuk mencapai hasil belajar yang maksimal. Salam Matematika !!

Share this post