Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya
Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya - Dalam kehidupan sehari-hari kita kadang dihadapkan dengan masalah untuk
menentukan banyak cara pemilihan beberapa objek, menentukan banyak susunan
kepanitiaan, dan sebagainya. Misalnya, berapa banyak cara memilih beberapa
siswa dari sekelompok siswa sebagai pengurus kelas, berapa banyak cara memilih
beberapa kelereng dari kantong yang berisi kelereng warna-warni, dan masih
banyak lagi kasus yang lain. Beda kasus akan berbeda pula penyelesaiannya. Mari kita pelajari bersama Partner Studi Matematika.
Susunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut dan tanpa memperhatikan urutan yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan k ≤ n, disebut kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia.
b. Jika Felix, Meilvi, dan Valen duduk
berdampingan, mereka bertiga dianggap 1 unsur dalam susunan siklis, maka jumlah
unsur dalam susunan siklis menjadi 8 unsur. Sehingga, banyak susunan posisi
duduknya adalah:
Sekian pembahasan kali ini dengan topik Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya. Asahlah kemampuanmu secara terus menerus untuk mencapai hasil belajar yang maksimal. Salam Matematika !!
Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya
Untuk membantu dalam mendiagnosis apakah soal
tersebut diselesaikan dengan permutasi atau kombinasi, berikut adalah salah
satu tipsnya.
Perbedaan
permutasi dan kombinasi dalam menyelesaikan soal-soal:
a.
Jika
urutan unsur dibalik bernilai berbeda atau unsur dalam soal tersebut memiliki
status, maka soal diselesaikan dengan permutasi;
b.
Jika
urutan unsur dibalik bernilai sama atau unsur dalam soal tersebut tidak
memiliki status, maka soal diselesaikan dengan kombinasi.
Sebelum kita menerapkan konsep dan
prinsip permutasi dan kombinasi dalam permasalahan nyata, mari kita mengingat
kembali tentang permutasi dan kombinasi yang sudah kita pelajari di bagian
sebelumnya.
1.
Permutasi
Permutasi adalah banyaknya cara untuk
menyusun n unsur yang berbeda dalam
urutan tertentu tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut. Berikut
adalah beberapa jenis permutasi.
a.
Permutasi
dari unsur-unsur yang berbeda
Susunan
k unsur tanpa ada unsur yang diulang
dari unsur-unsur tersebut yang diambil dari n
unsur yang berbeda dengan k ≤ n disebut permutasi k unsur dari n unsur yang
tersedia.
Banyak
permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia dapat dinotasikan:
b.
Permutasi
yang memuat beberapa unsur yang sama
Banyak
permutasi n unsur yang memuat k1
unsur yang sama, k2 unsur yang sama, k3
unsur yang sama, dan seterusnya hingga kn unsur yang sama dengan k1 + k2
+ k3 + … + kn = n, dapat ditentukan
dengan rumus berikut:
c.
Permutasi
siklis
Permutasi siklis merupakan permutasi
melingkar. Jika ada n unsur yang
berbeda dan disusun dalam bentuk siklis (melingkar), maka banyak susunan yang
terjadi adalah (n – 1 ) !. Sehingga banyak permutasi siklis dari n unsur dapat dirumuskan:
2.
Kombinasi
Kombinasi adalah banyaknya cara untuk
menyusun n unsur yang berbeda tanpa
ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut tanpa memperhatikan urutan. Berikut adalah beberapa jenis
kombinasi.
a.
Kombinasi
dari unsur-unsur yang berbeda
Penyusunan k
unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut dan tanpa
memperhatikan urutan yang diambil dari n
unsur yang berbeda dengan k ≤ n, diperoleh:Susunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur-unsur tersebut dan tanpa memperhatikan urutan yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan k ≤ n, disebut kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia.
b.
Kombinasi
yang memuat beberapa unsur yang sama
Misalkan terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3,
…, qe. Unsur q1
ada
sebanyak n1,
unsur q2 ada
sebanyak n2,
unsur q3 ada
sebanyak n3, ... dan unsur qe ada
sebanyak ne,
sehingga n1 + n2 + n3
+ … + ne = n. Dari n unsur tersebut akan diambil k
unsur yang terdiri dari k1 unsur q1,
k2 unsur q2,
k3 unsur
q3,
... dan ke
unsur qe
dengan k1 + k2 + k3
+ … + ke = k. Banyak cara pengambilan (kombinasi k1, k2, k3,
…, ke unsur dari
n1, n2, n3,
…, ne unsur ) adalah:
Berikut adalah beberapa permasalahan nyata yang berkaitan
dengan permutasi dan kombinasi beserta penyelesaiannya.
1.
Dalam
suatu pemilihan pengurus kelas akan dipilih seorang ketua kelas, seorang wakil
ketua kelas, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. Pada pemilihan tersedia
calon sebanyak 6 orang dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk
menduduki salah satu jabatan tersebut. Berapa banyak susunan pengurus kelas
yang dapat dibentuk?
Penyelesaian:
Objek memiliki status yaitu sebagai ketua,
sekretaris, dan bendahara. Sehingga permasalahan tersebut dapat diselesaikan
dengan menggunakan konsep permutasi.
Jadi, banyak susunan pengurus kelas yang dapat
terbentuk adalah 360 cara.
2.
Dari
15 orang anggota Karang Taruna akan dipilih 4 orang sebagai petugas ronda.
Tentukan banyak susunan petugas ronda yang dapat dibentuk.
Penyelesaian.
Objek tidak memiliki status atau jika urutan
objek dibalik, bernilai sama. Sehingga, permasalahan tersebut dapat
diselesaikan dengan menggunakan konsep kombinasi.
Jadi, banyak susunan petugas ronda yang dapat
dibentuk adalah 1.365 cara.
3.
Pada
sebuah tes, seorang peserta hanya diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal yang
diberikan. Tentukan banyak susunan soal yang mungkin dikerjakan.
Penyelesaian.
Objek tidak memiliki status atau jika urutan
objek dibalik, bernilai sama. Sehingga, permasalahan tersebut dapat
diselesaikan dengan menggunakan konsep kombinasi.
Jadi, ada 45 susunan soal yang mungkin dikerjakan.
4.
Dari
suatu kotak terdapat 12 bola yang terdiri atas 6 bola warna putih, 4 bola warna
hijau, dan sisanya berwarna hitam. Jika diambil 3 bola sekaligus dari kotak
tersebut, tentukan banyak cara untuk mendapatkan bola berwarna putih paling
sedikit dua bola.
Penyelesaian.
Objek tidak memiliki status
atau jika urutan objek dibalik, bernilai sama. Sehingga, permasalahan tersebut
dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep kombinasi.
Pengambilan paling sedikit 2 bola putih memiliki
beberapa kemungkinan, yaitu:
Jadi,
banyak cara untuk mendapatkan paling sedikit 2 bola putih adalah 60 + 30 + 20 = 110
cara.
5.
Suatu
pertemuan diikuti oleh 9 peserta yang akan duduk mengelilingi meja bundar.
Felix, Meilvi, dan Valen ikut dalam pertemuan itu. Tentukan banyak susunan
tempat duduk yang terjadi:
a.
Jika
semua peserta bebas memilih tempat duduk.
b.
Felix,
Meilvi, dan Valen duduk berdampingan.
c.
Felix,
Meilvi, dan Valen tidak boleh ketiganya duduk berdampingan.
Penyelesaian.
Jika
urutan objek dibalik, maka nilai akan berbeda. Sehingga, permasalahan tersebut
dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep permutasi, lebih tepatnya
permutasi siklis.
a. Jika semua peserta bebas memilih tempat duduk,
maka banyak susunan posisi duduk yang mungkin adalah:
Jadi,
banyak susunan posisi duduk yang mungkin adalah 40.320 cara.
Namun
Felix, Meilvi, dan Valen dapat bertukar tempat sebanyak 3! = 6.
Jadi,
banyak susunan posisi duduk yang mungkin adalah 5.040 × 6
= 30.240.
c.
Banyak posisi duduk jika Felix, Meilvi, dan
Valen tidak boleh bertiganya duduk berdampingan = banyak posisi duduk semua
peserta – banyak posisi duduk mereka bertiga duduk berdampingan.
Jadi, banyak susunan posisi duduk yang mungkin
adalah 40.320 - 30.240 = 10.080.Sekian pembahasan kali ini dengan topik Permutasi dan Kombinasi Serta Contoh Soal dan Penerapannya. Asahlah kemampuanmu secara terus menerus untuk mencapai hasil belajar yang maksimal. Salam Matematika !!
Boy memiliki 18 kelereng di kantong. 7 diantaranya berwarna kuning, 5 biru, dan 6 merah. Berapakah jumlah minimum yg hrs diambil Boy utk memastikan bhw ia mendapatkan setidaknya 1 kelereng utk setiap warna?
ReplyDeleteA. 13
B. 12
C. 7
D. 15
E. 14
Ini tipe soal apa ya? Mohon bantu penyelesaiannya.. Terima kasih
Ini soal TPA.
ReplyDeleteJawabannya A.
Pembahasannya yaitu : ambil kelereng dengan warna yg banyak, yaitu 7. Selanjutnya terbanyak kedua, yaitu 6. Setelah tambahkan 1 hasilnya 13
Pake logika aja
Maaf kalo salah
Ayuk buruan ikutin Turnamen Rollingan Bersama Bolavita, TOTAL HADIAH Sampai 149 Juta Rupiah lho teman". Mari Juga Dapatkan Freechip Gratis Bersama kami. Sexy Gaming merupakan salah satu produk taruhan casino online yang cukup diminati para pemain di Indonesia.
ReplyDeleteKetentuan Promo
Setiap pemain yang memainkan permainan sexy gaming pada bulan Mei, secara otomatis sudah mengikuti event turnamen rollingan ini.
Pemilihan Pemenang
• Juara 1 Minimal Turn Over 10 M
• Juara 2 Minimal Turn Over 9 M
• Juara 3 Minimal Turn Over 8 M
• Juara 4 Minimal Turn Over 7M
• Juara 5 Minimal Turn Over 6 M
kunjungi kontak kami jika kurang jelas teman"
Sexy Gaming hadiah 149 juta
Yuk daftar langsung di Bolavita | Masih Byk Game seru Online Lainnya
• Sbobet Casino
• Cbo855
• Gd88
• Wm Casino
• Play1628
• Vivoslot
• Balapan Tikus
WA: 0812-2222-995
Telegram : 0812-2222-995