Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus)

Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus)-akan disajikan dalam topik ini untuk data berkelompok. Ikutilah bersama kami Partner Studi Matematika 

Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus)



Ukuran pemusatan data menggambarkan tempat atau pada nilai-nilai mana data cenderung berkumpul. Ada tiga ukuran pemusatan data yang sering digunakan yaitu rata-rata (mean), median, dan modus.
a.         Menentukan nilai rata-rata (Mean)
Masih ingatkah kalian cara menentukan mean dari data tunggal di SMP dan di kelas X?
Diketahui bahwa






Jika datanya banyak, dan data disajikan dengan tabel distribusi frekuensi berkelompok, maka menentukan mean data berkelompok juga dikembangkan dari konsep menentukan mean dari data tunggal tersebut.
Perhatikan tabel berikut
 Tabel 1. Tabel Nilai Matematika Siswa XI IPA

Nilai Matematika
Frekuensi
38 – 46
1
47 – 55
5
56 – 64
7
65 – 73
12
74 – 82
25
83 – 91
22
92 – 100
8
Jumlah
80

Kita akan memaknai sajian data pada Tabel 1 di atas. Dari interval 38 – 46, dapat diartikan bahwa :
38 disebut batas bawah kelas ke I
46 disebut batas atas kelas ke I

Nilai tengah kelas dinotasikan dengan xi.
Berapakah batas bawah, batas atas, dan nilai tengah kelas ke II sampai dengan kelas ke VII?
Sesuai pembahasan kita, data nilai matematika siswa Kelas XI IPA dapat diperbaharui sebagai berikut.
Tabel 2 Tabel Frekuensi
Nilai Mat
xi
Fi
xi .Fi
38 – 46
42
1
42
47 – 55
51
5
255
56 – 64
60
7
420
65 – 73
69
12
828
74 – 82
78
25
1950
83 – 91
87
22
1914
92 – 100
96
8
768
Jumlah

80
6177

Nilai tengah setiap kelas diartikan sebagai perwakilan data setiap kelas. Nilai ini digunakan untuk menentukan rata-rata data tersebut.
Dengan mengembangkan konsep mean pada data tunggal, yaitu mean merupakan perbandingan jumlah seluruh data dengan banyak data, maka jumlah seluruh data adalah (1) 42 + (5) 51 + (7) 60 + (12) 69 + (25) 78 + (22) 87 + (8) 96.
Sehingga diperoleh rata-rata (mean) :
Jadi, rata-rata (mean) dari nilai matematika siswa kelas XI IPA adalah 77,21.
Dengan memperhatikan data nilai yang telah diurutkan dan mean yang diperoleh,
-          Berapakah banyak siswa yang mendapat nilai matematika di bawah rata-rata?
-          Berapakah banyak siswa yang mendapat nilai matematika di atas rata-rata?

Perhitungan rata-rata di atas dapat kita rumuskan secara matematis sebagai berikut:

Melalui pembahasan ini, disimpulkan bahwa rata-rata (Mean) merupakan salah satu ukuran pemusatan data yang dinyatakan sebagai berikut.
Selain cara di atas, ada cara lain untuk menghitung rata-rata, diantaranya adalah dengan menggunakan rataan sementara. Dengan data yang sama, tentukan rata-rata dari data di atas dengan langkah-langkah sebagai berikut.
1.      Ambil nilai tengah dengan frekuensi terbesar yang akan dinamakan sebagai rataan sementara (xs)
2.      Kurangkan setiap nilai tengah kelas dengan rataan sementara (xs) dan catat hasilnya, misalnya pada kolom di = xi - xs
3.      Hitung hasil kali fi . di dan tuliskan hasilnya pada sebuah kolom, hitung totalnya.
Hitung mean dengan menggunakan rumus rataan sementara berikut:












Data pada tabel di atas dapat kita sajikan kembali sebagai berikut.

Tabel 3. Penentuan Mean
Nilai Mat
xi
fi
di = xi - xs 
fi . di
38 – 46
42
1
-36
-36
47 – 55
51
5
-27
-135
56 – 64
60
7
-18
-126
65 – 73
69
12
-9
-108
74 – 82
78
25
0
0
83 – 91
87
22
9
198
92 – 100
96
8
18
144
Jumlah

80

-63
 Keterangan: rataan sementara dipilih dari data yang mempunyai frekuensi tertinggi, yaitu xs  = 78.

b.         Menentukan Nilai Modus
Modus untuk data berkelompok prinsipnya sama dengan modus untuk data tunggal yaitu nilai yang paling sering muncul. Dalam hal ini frekuensi terbanyak menjadi perhatian kita sebagai letak modus tersebut. Misalkan dari sekumpulan data kita ambil 3 kelas yakni kelas dengan frekuensi terbanyak (kelas modus) dan kelas sebelum dan sesudah kelas modus. Dengan bantuan histogram, 3 kelas interval tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:
Harus diingat bahwa dalam menggambarkan histogram, setiap kelas diwakili oleh sebuah persegi panjang yang lebarnya menujukkan panjang kelas dan tingginya menunjukkan frekuensi kelas, panjang kelas merupakan selisih tepi atas dengan tepi bawah kelas.

Untuk keperluan menentukan modus, diberikan keterangan sebagai berikut:

d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya
k   = panjang kelas
tb  = tepi bawah kelas modus
Mo = Modus

Jika kita perhatikan, Mo = tb + x. Sehingga untuk menentukan modus kita gunakan prinsip kesebangunan antara ABG dengan DCG.
AB = d1, CD = d2, EG = x dan FG = k - x. Berdasarkan sifat kesebangunan berlaku perbandingan sebagai berikut:


Perhatikan tabel berikut.
Tabel 4. Penentuan Modus
Nilai Mat
xi
fi
38 – 46
42
1
47 – 55
51
5
56 – 64
60
7
65 – 73
69
12
74 – 82
78
25
83 – 91
87
22
92 – 100
96
8
Jumlah

80

Berdasarkan tabel, modus terletak pada frekuensi terbanyak f = 25 yaitu kelas interval modus 74 – 82 dengan panjang kelas k = 9. Sehingga diperoleh
tb  = 73,5
d1 = 25 – 12 = 13
d2 = 25 – 22 = 3

Modus data di atas dihitung dengan:
c.         Menentukan nilai tengah (Median)
Median dari sekelompok data yang telah diurutkan merupakan nilai yang terletak di tengah data yang membagi dua bagian yang sama. Untuk data berkelompok, median ditentukan dengan rumus interpolasi sebagai berikut:






Keterangan:
Me = Median
k   = panjang kelas
tb  = tepi bawah kelas median
n  = banyak data
F  = frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas median
fm = frekuensi kelas median
Untuk menentukan median dari suatu daftar distribusi frekuensi berkelompok, kita harus memperhatikan tabel frekuensi kumulatif untuk menentukan dimana datum berada.

Tabel 5. Penentuan Median
Nilai Mat
Frekuensi (fi )
 Frekuensi Kumulatif (F)
38 – 46
1
1
47 – 55
5
6
56 – 64
7
13
65 – 73
12
25
74 – 82
25
50
83 – 91
22
72
92 – 100
8
80
Jumlah
80


Ukuran data pada Tabel 5 adalah 80 (genap), artinya median terletak antara datum ke-40 dan datum ke-41. Kedua datum tersebut terletak pada kelas 74 – 82.

Dari tabel di atas diperoleh informasi berikut.
k = 9, tb  = 73,5, n = 80, dan  = 25.
F =25.

Jadi, median data nilai matematika siswa kelas XI IPA adalah 79,9.


Terimakasih telah mengikutisajian Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus). Terapkanlah pengetahuanmu yang didapatkan kali ini dengan menganalisa contoh-contoh soal penerapannya pada bahasan berikutnya di Contoh Soal Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus).  Salam Matematika !!

0 Response to "Ukuran Pemusatan Data (Mean, Median, Modus)"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel